一.   引言

一直以来，人们试图通过认识悖论形成的条件，希望据此达到分析悖论的目的。其中，悖论语句中的循环性受到了较多的关注。通常情况下，在讨论以语句作为载体的悖论时，循环性被看作是句子的自指性，即句子中含有名称直接或间接地指称了这个句子本身。基于上述循环性标准，我们确实发现大量诸如说谎者之类的悖论都是循环的。甚至可以证明，一大类被称为是局部有穷的悖论都是如此^[1]。那么，是否可以断言一切悖论都基于自指循环性呢？

这个问题在雅布鲁(S. Yablo)提出其著名的悖论以后有了否定的回答。雅布鲁悖论是一个由可数无穷多个语句构成的悖论。为方便起见，称这些语句为雅布鲁语句，并把它们用自然数依次编号：υ₀, υ₁, …, υ_n, …雅布鲁语句的奇特之处在于，每个雅布鲁语句都断定它之后的雅布鲁语句都为假。形式的表达如下：

对任意m>n，υ_m都为假    (υ_n)

其中n是任意的自然数。从1993年雅布鲁指出他的悖论不具有循环性之后^[2]，关于雅布鲁悖论的非循环性虽然仍有争论^[3]，但被大多数逻辑学家认同在语句自指的意义下，雅布鲁悖论不具有循环性。尽管如此，雅布鲁悖论的非循环性在当时被认为也许只是一个例外而已。也就是说，循环性仍然被认为是语义悖论具有的一种普遍性质。

然而，库克(R. T. Cook)及施伦克尔(P. Schlenker)等人分别证明了，雅布鲁悖论实际可看作是说谎者悖论的一种无穷展开^{[4, 5]}。这种展开可以理解为，把说谎者语句λ复制可数无穷多次得到语句集λ₀, λ₁, …比照雅布鲁语句集，可知υ₀实际就是λ₁, λ₂, …的无穷合取，其他语句如此类推^[1]。例如，上述工作可扩展到n-卡片悖论上。n-卡片悖论是说谎者悖论的一种较简单的推广，其形式表示如下：

语句(n_n)是假的    (n₁)

语句(n₁)是真的    (n₂)

语句(n₂)是真的    (n₃)

…

语句(n_n-1)是真的    (n_n)

n-卡片悖论可展开得到n-雅布鲁式悖论^[1]。例如，2-雅布鲁式悖论可表示为两行无穷列的无穷矩阵：

υ₁¹υ₂¹υ₃¹…

υ₁²υ₂²υ₃²…

其中语句υ₁¹断定对任意k>1，语句υ_k²都为假，语句υ₁²断定对任意k>1，语句υ_k¹都为真；语句υ₂¹断定对任意k>2，语句υ_k²都为假，语句υ₂²断定对任意k>2，语句υ_k¹都为真；以此类推。

与雅布鲁悖论消除说谎者悖论的直接自指性类似，当n大于1时，n-雅布鲁式悖论消除了n-卡片悖论的间接自指性^[1]。进一步的研究表明，上述展开虽然可消除自指意义下的循环性，但却不会改变悖论的悖论度。悖论度是指利用悖论发生矛盾的条件对悖论的矛盾强弱程度进行衡量的尺度。一般而言，任何一个悖论都是在一定条件下才会产生矛盾的。如果一个悖论在另一个悖论发生矛盾的条件下总是产生矛盾，那么就说前者的悖论度不弱于后者的悖论度。当然，如果两个悖论在对方发生矛盾的时候也都总发生矛盾，那么就说两者具有相同的悖论度^[6]。可以证明对任意的自然数n，n-卡片语句集与n-雅布鲁式语句集具有相同的悖论度^[1]。特别地，说谎者悖论与雅布鲁悖论具有相同的悖论度。还需要特别指出的是，因为n-卡片语句集发生矛盾的条件在下述意义下都与循环性相关：它们在并且只在含有特定循环的框架上才会出现矛盾(详见文献[7])。所以，n-雅布鲁式语句集也必定是在相同的有循环的框架下才会出现矛盾。在这个意义下，n-雅布鲁式语句集的悖论性依赖于循环性。就雅布鲁悖论而言，它之悖论性基于与说谎者悖论相同的循环性：即在并且只在含有长度是奇数的循环的框架下才会产生矛盾。当然，这个结论与前面提到的雅布鲁悖论不具有自指循环性并不冲突，因为此处循环性是比自指循环性更深层的循环性。

作为n-卡片悖论推广，可以考虑这样的悖论:

语句(b₂)是真的，并且语句(b₃)是假的    (b₁)

语句(b₁)是假的，或者语句(b₃)是真的    (b₂)

语句(b₁)是真的，并且语句(b₂)是真的    (b₃)

这种悖论是由文兰首先提出的^[8]，其一般特点是：每条语句均可表示为一组语句的布尔组合，无妨把这类悖论统称为布尔悖论。布尔悖论是说谎者悖论更为一般的推广，它包括了说谎者悖论、n-卡片悖论、克里悖论(Curry’s paradox) ^[9]等在内的许多语义悖论，实际涵盖了一大类的语义悖论。

对于布尔悖论，可类似于展开n-卡片悖论那样对其进行展开(详见下一节)。布尔悖论是一种特殊的局部有穷悖论，因此，它们都是自指的。对其展开就消除了其自指性，这一点不难证明。但还有一个问题尚待回答：布尔悖论的(非自指)展开是否保持了悖论度呢？即布尔悖论是否总能展开得到悖论程度等价且非自指的悖论吗？如果回答是的话，则一方面说明了自指循环性的缺失绝不是出现在雅布鲁悖论上的个案，而是一大类具有雅布鲁展开特征的悖论的共有特征。另一方面，如果这种展开保持了布尔悖论的悖论度，那么因为布尔悖论只是在含有特定循环性的框架下才会出现矛盾^[10]，因此布尔悖论的展开也在相同的含有特定循环性的框架下才会出现矛盾。我们看到，布尔悖论的展开虽然消除了原先悖论的自指循环性，但其完整地保留了框架上产生矛盾的循环特性。这说明相对于悖论形成的条件而言，后一循环性才是更本质的条件。本文将证明上述问题的回答是肯定的。

二.   布尔悖论与布尔语句网

为研究当前问题，首先需要定义一套形式语言并给出关于布尔悖论的形式化表示方法。一般来说，可在算术语言中应用对角线引理构造其形式化表示。不过本文所研究的主要是布尔悖论，其表达不涉及量词，因此可通过更简单的语言来进行形式化。本文将通过引入语句网(sentence net)^[11]来表达布尔悖论。^① 下面给出本文所使用的形式语言，并定义语句网、布尔语句网以及赋值等相关概念。

①语句网概念由波兰特(Bolander T.)和库克各自独立地提出，有关历史请参见文献[10], 第108—109页。

定义1  设N为可数命题变元集，取p, q(可带上下标)等作为变元符号，$\neg$为否定符号，∧为无穷合取符号，定义形式语言L_N如下：

(1) 所有N中元素是公式。

(2) 如果A是公式，则$\neg$A是公式。

(3) 如果Ψ是公式集, 则∧Ψ是公式。

其他联结词的意义可按通常规定。

定义2  (语句网)规定形如π:A的表达式为子句(clause)，其中π是命题变元, A是公式。语句网是L_N中的子句集，其中要求如果语句网中有π:A和π:B, 则A和B是同一个公式。

以说谎者语句为例，其语句网可表示为{p₁: $\neg$p₁}。前面关于布尔悖论所举例子可表示为{p₁:p₂∧ $\neg$p₃, p₂: $\neg$p₁∨p₃, p₃:p₁∧p₂}。称表示布尔悖论语句集的语句网为布尔语句网，布尔语句网及其展开定义如下：

定义3  称Θ={pⁱ:gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ)}(1≤i≤n)为布尔语句网，其中gⁱ为只使用合取或析取两种运算的布尔组合函数。称l_tⁱ(1≤t≤n)为pⁱ中的文字(literal)，l_tⁱ=p^t时为正文字，否则为负文字。规定Θ的展开为语句网Θ_* $= \left\{ {p_j^i:{g^i}\left( {{\wedge _{k > j}}l_{(1, k)}^{(i, j)}, \cdots , {\wedge _{k > j}}l_{(n, k)}^{(i, j)}} \right)} \right\}(j \ge 1)$，其中文字<il_{(t, k)}^{(i, j)}表示p_jⁱ中指涉的p_k^t或$\neg$p_k^t，要求对每个i，l_tⁱ，l_{(t, k)}^{(i, j)}同为正文字或负文字。

定义4  给定框架K= < W, R>，映射V:N→P(W)是K的一个赋值，其中P(W)是W的幂集。对公式的赋值仍用符号V表示，按如下规则递归计算：

接着需要明确布尔语句网与其展开之间在何种意义下具有相同的悖论度，为此需要引入语句网的可容许赋值^[12]等概念。可容许赋值是建立在关系框架上的，框架由非空集合W及其二元关系R所构成。语句网相对于某个框架而具有可容许赋值。根据可容许赋值的概念就可定义语句网在某个框架中的悖论性；然后，以此为基础可提出对应的悖论度概念，它用于比较两个悖论之间矛盾程度的强弱。为简单起见，此处只针对布尔语句网及其展开给出相关的可容许赋值定义，并根据需要给出了悖论度的部分定义。

定义5  称框架K= < W, R>中的赋值V是布尔语句网Θ的一个可容许赋值，如果对布尔语句网中的所有子句有：

其中uRv表示条件：W中的点u通达v。类似地，对于布尔语句网的展开Θ_*，其赋值的可容许条件为：

定义6  给定语句网Σ，如果在框架K中不存在Σ的可容许赋值，则称Σ在K中是悖论的。特别地，当Σ在极小自返框架中是悖论的，则称Σ是悖论的。

定义7   (悖论度)给定语句网Σ和Γ，对任意框架K，如果Σ在K中是悖论的，蕴涵Γ在K中也是悖论的，则称Σ在悖论度上不强于Γ，记作ΣΓ。如果ΣΓ且ΓΣ，则称它们具有相同的悖论度。

三.   布尔语句网与布尔系统的关系

设L为算术语言，是L的标准结构，Th 是L中的真算术理论。在L中加入真谓词T得到L⁺，对应地有L⁺的真算术理论Th⁺。基于上述概念，熊明根据对角线引理给出了布尔悖论语句集的另一种表示形式：布尔系统，并且基于可容许指派的概念给出了布尔悖论的刻画结果^[1]。由于本文的证明将使用到布尔系统的一些性质，作为准备需要讨论布尔语句网与布尔系统的关系。首先，通过如下定义及引理说明布尔语句网的可容许赋值与布尔系统的可容许指派的关系；然后给出语句网的框架紧致性定义，并证明布尔语句网具有框架紧致性。

定义8  设有布尔语句网$\mathit{\Theta } = \left\{ {{p^i}:{g^i}\left( {l_1^i, \cdots , } \right.} \right.\left. {\left. {l_n^i} \right)} \right\}(1 \le i \le n)$，并且有布尔系统Δ={δ¹, …, δⁿ}，fⁱ是Δ所使用的布尔组合。称Θ与Δ在表示上是同一的，如果对每个i，有Th⁺ gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ)↔fⁱ(p¹, …, pⁿ)。

引理1  如果布尔语句网Θ与布尔系统Δ在表示上是同一的, 则Θ在某个框架中具有可容许赋值当且仅当Δ在该框架中具有可容许指派。

证明：设有布尔语句网$\Theta = \left\{ {{p^i}:{g^i}\left( {l_1^i, \cdots , } \right.} \right.\left. {\left. {l_n^i} \right)} \right\}$及布尔系统$\mathit{\Delta } = \left\{ {{\delta ^1}, \cdots , {\delta ^n}} \right\}$在表示上是同一的。给定框架K= < W, R>，设V_Θ和V_Δ分别是Θ和Δ在K中的赋值和指派。如果规定对任意w∈W，有w∈V_Θ(pⁱ)当且仅当V_Δ(δⁱ, w)=1。以此作为归纳的基始，按公式的结构容易归纳证明，w∈V_Θ(fⁱ(p¹, …, pⁿ))当且仅当V_Δ(fⁱ(δ¹, …, δ)ⁿ, w)=1。由于Θ与Δ在表示上是同一的，据布尔语句网赋值的定义，易知V_Θ(gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ))=V_Θ(fⁱ(p¹, …, pⁿ))，因此w∈V_Θ(gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ))当且仅当V_Δ(fⁱ(δ¹, …, δⁿ), w)=1。注意在布尔系统中也可以用fⁱ计算公式的真值，因此有w∈V_Θ(gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ))当且仅当fⁱ(V_Δ(δ¹, w), …, V_Δ(δⁿ, w))=1。

设V_Δ在K中是可容许的，并按上述等价关系构造赋值V_Θ。可知对任何u, v∈W使得uRv，以及每个1≤i≤n，如果u∈V_Θ(gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ))，使得fⁱ(V_Δ(δ¹, u), …, V_Δ(δⁿ, u))=1，则有V_Δ(δⁱ, v)=1，从而有v∈V_Θ(pⁱ)。若u∉V_Θ(gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ))，显然同样有v∉V_Θ(pⁱ)，因此V_Θ在K中是可容许的。反之同样可验证如果V_Θ在K中是可容许的，则V_Δ在K中是可容许的。

定义9  称一个语句网具有框架紧致性, 如果它在一个框架中是悖论的，蕴含它在此框架的某个有穷子框架中也是悖论的。

根据布尔悖论的刻画结果，可知布尔系统具有框架紧致性^[10]。由于对每个布尔语句网显然都有与其在表示上是同一的布尔系统, 而据引理1可以认为布尔语句网的悖论性定义与布尔系统的悖论性定义^[1]本质是相同的, 由此可知布尔语句网同样具有框架紧致性。

引理2  如果布尔语句网在框架K中是悖论的, 那么它在K的某个有穷子框架中也是悖论的。

此外，上述关于布尔系统及布尔语句网的定义只考虑有穷的情形。可定义包含有无穷条语句的广义布尔系统(Generalized Boolean System)并将其悖论性判定问题归约为布尔可满足性判定问题^[10]。已经证明，广义布尔系统是悖论的，当且仅当存在某个广义布尔系统的有穷子集也是悖论的。因此只需要考虑有穷布尔系统的悖论性即可。类似地可定义广义布尔语句网，显然之前关于布尔语句网的可容许赋值的相关定义和结论都适用于其广义情形。每个布尔语句网都有与其在表示上是同一的布尔系统，由此可知对于广义布尔语句网的悖论性判定问题同样只需要考虑布尔语句网的有穷情形即可。

四.   布尔语句网与其展开之间悖论度的比较

定理1  布尔语句网Θ与其展开Θ_*之间具有相同的悖论度。

本节主要证明上述定理。首先证明如果Θ在某一框架中有可容许赋值, 则Θ_*在此框架中也有可容许赋值。设V是Θ在框架K中的可容许赋值，构造Θ_*在K中的赋值V_*如下：对所有1≤i≤n, j≥1，V_*(p_jⁱ)=V(pⁱ)。然后据布尔语句网的定义，l_tⁱ和l_{(t, k)}^{(i, j)}(1≤t≤n)同为正文字或负文字，因此V_*(l_{(t, k)}^{(i, j)})=V(l_tⁱ)。根据语句网赋值的定义有V_*(gⁱ(∧_k>jl_{1, k}^{(i, j)}, …, ∧_k>jl_{n, k}^{(i, j)}))=V(gⁱ(l₁ⁱ, …, l_nⁱ))。因为V是可容许赋值，据布尔语句网可容许赋值定义中的(1)式以及前面已证的结果，易知对于K中所有u, v，有(2)式成立，即V_*在K中是可容许的。

然后，为证如果Θ_*在某一框架中有可容许赋值蕴含Θ在此框架中也有可容许赋值，需要引入两个概念：自相似性和收敛性^[13]。

首先讨论自相似性。可将布尔语句网的展开Θ_*看作是由n行和无穷列的子句构成的阵列。设X是一个正整数集的子集，用于表示Θ_*的子句阵列的列编号。按X取Θ_*的多列子句而重新构成的布尔语句网可称为对Θ_*的限制，记为Θ_*「X。类似地，如果有赋值V，同样可以使用X得到该赋值的限制V「X。下面证明若X是一个无穷集，则Θ_*「X与Θ_*是等价的，称Θ_*的这种性质为自相似性。可利用Θ_*的自相似性，间接地通过考察Θ_*「X的悖论性来获知Θ_*的悖论性。

引理3  (自相似性)如果X是一个无穷集, 则Θ_*「X在K中有可容许赋值, 当且仅当Θ_*在K中有可容许赋值。

证明：设X={n₁ < n₂ < …}，记X_nj={k∈X|k>n_j}。设V是Θ_*「X在K中的可容许赋值。定义V^X为如下：对任意1≤i≤n和j≥1，V^X(p_jⁱ)=V(p_njⁱ)，且对每个k>j，对应地有k′∈X_nj使得V^X(p_k^t)=V(p_k′^t)，据布尔语句网定义可知V^X(∧_k>jl_{(t, k)}^{(i, j)})=V(∧_k′∈X_njl_j^{(i, n})_{(t, k′}))。类似于前面的证明，由V是Θ_*「X在K中的可容许赋值，容易验证V^X是Θ_*在K中的可容许赋值。反之，设V是Θ_*在K中的可容许赋值，可构造V_X(p_njⁱ)=V(p_jⁱ)；同理，可验证V_X是Θ_*「X在K中的可容许赋值。

接着讨论收敛性。它是指Θ_*在K中的赋值V对任意1≤i≤n，都存在数N_i，使得对任意j, k≥N_i，V(p_jⁱ)=V(p_kⁱ)。为了得到一个Θ_*的收敛可容许赋值，可首先构造一个Θ_*的限制的收敛可容许赋值，再根据自相似性引理构造出Θ_*的收敛可容许赋值。为此，从一个Θ_*的可容许赋值V₀开始，反复迭代地删除Θ_*中的某些列，由此不断得到新的Θ_*的限制以及对应的赋值V₁, V₂, …。对上述过程有两个要求：一是要求过程是可终止的，为此可限制在有穷框架下，按框架中的每个点执行Θ_*中列的删除操作；二是要求过程输出的赋值是可容许的，这就需要保证此过程中从V₀开始的每一步所产生的赋值均符合可容许条件。

基于上述思想，需要明确框架K中的每个点将使Θ_*的哪些列得到保留。设Θ_*「X在K中具有可容许赋值。对每个1≤i≤n和w∈W，用$\mathbb{T}$_wⁱ(V, X)表示Θ_*「X作为一个子句阵列其第i行中在w上赋值为真的所有命题变元的下标，即$\mathbb{T}$_wⁱ(V, X)={j∈X|w∈V(p_jⁱ)}。约定在V和X明确的前提下，可将$\mathbb{T}$_wⁱ(V, X)简记为$\mathbb{T}$_wⁱ。以下引理证明了按$\mathbb{T}$_wⁱ保留下来的子句阵列能得到对应的可容许赋值。

引理4  设X是正整数的子集，V是Θ_*在K中的可容许赋值。对任意w∈W，如果$\mathbb{T}$_wⁱ是无穷且余无穷，则V「$\mathbb{T}$_wⁱ是Θ_*「$\mathbb{T}$_wⁱ在K中的可容许赋值。

证明：在W中任取u, v两点，使得uRv。分情况讨论：

如果w=v，因为$\mathbb{T}$_wⁱ非空，可设v∈V(p_jⁱ)使得布尔语句网可容许赋值定义中的(1)式成立。又因为$\mathbb{T}$_wⁱ是余无穷的，所以可设有j′>j，使得$v \notin V\left( {p_{{j^\prime }}^i} \right)$，从而又有$u \notin V\left( {{g^i}\left( {{ \wedge _{k > {j^\prime }}}l_{(1, k)}^{(i, j)}, \cdots , { \wedge _{k > {j^\prime }}}} \right.} \right.\left. {\left. {l_{(n, k)}^{(i, j)}} \right)} \right)$。由于$V\left( {{ \wedge _{{k > {j}}}}l_{(i,k)}^{(i,j)}} \right) \subseteq V\left( {{ \wedge _{{k > {j^\prime }}}}{l^{(i,j)}}} \right)$且v∈V(p_jⁱ)，根据布尔语句网可容许赋值定义中的(2)式，容易证明$u \in V\left( {{g^i}\left( {{\wedge _{k > {j^\prime }}}l_{(1, k)}^{(i, j)}, \cdots , {\wedge _{k > {j^\prime }}}} \right.} \right.\left. {\left. {l_{(n, k)}^{(i, j)}} \right)} \right)$, 矛盾。因此w≠v。

如果w≠u且w≠v，则所证结论空洞地成立。

如果w=u，由于$\mathbb{T}$_wⁱ是无穷集，按前一引理中的证明方法构造V「$\mathbb{T}$_wⁱ，即可证V「$\mathbb{T}$_wⁱ是Θ_*「$\mathbb{T}$_wⁱ在K中的可容许赋值。

以下引理构造了寻找Θ_*的收敛可容许赋值的方法，以此证明了Θ_*的收敛可容许赋值的存在性。

引理5  如果Θ_*在一个有穷框架K中有可容许赋值，则它在K中必有收敛的可容许赋值。

证明：设X是正整数集的一个子集，w是K中的一点。对任意1≤i≤n和Θ_*在K中任意可容许赋值V，定义$\mathbb{N}$_wⁱ(V, X)如下：如果$\mathbb{T}$_wⁱ(V, X)是无穷且余无穷的，$\mathbb{N}$_wⁱ(V, X)=$\mathbb{T}$_wⁱ(V, X)；否则$\mathbb{N}$_wⁱ(V, X)=X。对每个1≤i≤n，归纳定义$\mathbb{N}$_w⁽ⁱ⁾(V, X)如下：$\mathbb{N}$_w(¹)(V, X)=$\mathbb{N}$_w¹(V, X)，$\mathbb{N}$_w⁽ⁱ⁺¹⁾(V, X)=$\mathbb{N}$_wⁱ⁺¹(V, $\mathbb{N}$_wⁱ(V, X))。令$\mathbb{N}$_w(V, X)=$\mathbb{N}$_w⁽ⁿ⁾(V, X)。

设K中W共有m个点，令0≤k≤m归纳定义X_k和V_k如下：X₀=$\mathbb{N}$，V₀=V，X_k+1=$\mathbb{N}$_wk+1(V_k, X_k)，V_k+1=V_k「X_k+1。使用数学归纳法，并根据引理4，可证对于任意0≤k≤m如下命题成立：

(1) X_k是无穷集，且对任意$X_{k} \subseteq X_{h}$。

(2) V_k是Θ_*「X在K中的可容许赋值，且对任意1≤i≤n和0≤h≤k以及j∈X_ki，都有V_kp_jⁱ=V_h(p_jⁱ)。

(3) 对每个1≤i≤n，都存在数N_kⁱ使得下列两个条件至少一个成立：

(3.1)对所有满足j≥N_kⁱ的j∈X_k，有w_k∈V_k（p_jⁱ)。

(3.2)对所有满足j≥N_kⁱ的j∈X_k，有w_k∉V_k(p_jⁱ)。

特别地，Θ_*「X_m是Θ_*的一个无穷子集，且它在K中有可容许赋值V_m。

根据命题(3)，对每个1≤i≤n，取{N₁₁ⁱ, …, N_mⁱ}中的最大者N_i，任取w_k∈W以及j₁, j₂∈X_m，使得j₁, j₂>N_i，据命题(2)有，w_k∈V_m(p_jⁱ)当且仅当w_k∈V_h(p_j1ⁱ)(1≤h≤m)。而据命题(3)，w_k∈V_h(p_j1ⁱ)当且仅当w_k∈V_h(p_j2ⁱ)，又据命题(2)，w_k∈V_h(p_j2ⁱ)当且仅当w_k∈V_m(p_j2ⁱ)，由此可知V_mp_j1ⁱ=V_m(p_j2ⁱ)，即证明了V_m是Θ_*「X_m在K中的收敛可容许赋值。然后，根据自相似性引理及其证明，通过V_m即可构造关于Θ_*在K中的可容许赋值V_*，因为V_m是收敛的，所以V_*也是收敛的。

最后完成定理1的证明。首先，如果K是有穷框架且Θ_*在K中有可容许赋值，则根据引理5可假设Θ_*在K中有收敛的可容许赋值V_*。然后据收敛性的定义，对每个1≤i≤n，都存在N_i使得对j, k≥N_i，V_*(p_jⁱ)=V_*(p_kⁱ)。构造Θ的赋值：V(pⁱ)=V_*(p_Nⁱ)，其中N是所有N_i中的最大者。据布尔语句网的定义，对所有k≥N，1≤t≤n，有V(l_tⁱ)=V_*(l_{(t, k)}^{(i, N)})，而由V_*的收敛性又有V_*∧_k>Nl_{(t, k)}^{(i, N)}=V_*(l_{(t, k)}^{(i, N)})，即有V(l_tⁱ)=V_*(∧_k>Nl_{(t, k)}^{(i, N)})。类似于前面的证明，可由赋值V_*的可容许条件及以上V与V_*的关系，得到V的可容许条件同样成立，即V是Θ在K中的可容许赋值。进一步，对于任意框架K，由于如果Θ_*在K中有可容许赋值，则Θ_*在其所有的有穷子框架中有可容许赋值。据以上证明，可知Θ同样在K的所有的有穷子框架中有可容许赋值。根据布尔语句网的框架紧致性, 可知Θ在K中有可容许赋值。证毕。

五.   结语

定理1通过布尔语句网及其展开讨论了有穷悖论语句集与无穷悖论语句集之间的具体关系。对于有穷情形的布尔语句网，它在语句自指的意义下是循环的。而另一方面，由于在布尔语句网的展开中，对每个命题变元p_jⁱ所指涉的p_k^t，都有k>j，因此显然布尔语句网的展开在语句自指的意义下不具有循环性。定理1表明，具有自指性的布尔悖论语句集对应地可得到了在悖论度上等价但具有非自指性的无穷布尔悖论语句集。这就肯定性地回答了本文在开始时提出的问题：布尔悖论是否总能展开得到悖论程度等价且非自指的悖论吗？

在悖论度的讨论上，我们也看到除了自指循环性这种句子表层的结构性特征，悖论还有更深层次的循环性，即悖论产生矛盾的框架中出现的循环性。定理1表明了虽然布尔悖论的展开不再具有布尔悖论的自指循环性，但却完全保留了布尔悖论的框架循环性特征。这样，我们从更深的层次看到了悖论对循环性的依赖。