一.   引言

近年来，我国基金市场得到迅猛发展，仅2016年以来新发行各类基金高达1 484只，占市场现有基金总数的35.48%。一方面，规模的快速扩张使得基金产品种类更为丰富，竞争也愈发激烈；另一方面，基金业绩却难以令投资者满意，2016年公募基金合计亏损1 754.7亿元。因此合理地对基金进行绩效评价，对基金经理提升基金运营效率和投资者选择基金进行投资具有重要意义。

实际上，基金产品无论如何推陈出新，其在根本意义上依然是一个投资组合，如何科学合理地对基金进行投资，本质上是一个投资组合绩效评价问题。自1952年Markowitz《证券组合选择》^①一文问世以来，多位学者在此基础上建立了经典的投资组合绩效评价模型，如Treynor(1965)指数^②、Sharpe(1966)比率^③、Jensen(1968)指数^④等，然而这些模型仅仅是基于单一指标的评价体系，无法满足证券市场的差异化评价需求。因此，Charnes和Cooper (1978)提出了数据包络分析(Data Envelopment Analysis，DEA)——利用决策单元评价相对绩效的非参数方法。^⑤DEA评价模型支持多输入、输出指标评价，降低了人为因素对绩效评价结果的负面影响，且计算方法简便，一经问世便被广泛应用。Christine和Hervé(2017)从DEA投资组合绩效评价模型的目的、输入输出指标、目标函数导向、决策单元数目、生产可行域等角度论述了DEA模型评价的合理性^⑥；Liu等(2013)研究了DEA问世以来在诸多层面的应用^⑦。之后，DEA绩效评价被越来越多地运用到基金评价当中，如国内学者陈志平和林瑞跃(2005)归纳了DEA模型在我国基金绩效评价研究领域的主要方法^①；国外学者Gregoriou等(2005)运用DEA模型对美国对冲基金进行了绩效评价，发现DEA可以比Sharpe指数更好地评价优质基金的表现^②。

① H. Markowitz. Portfolio Selection. The Journal of Finance, 1952, 7(1): 77—91.

② J. L. Treynor. How to Rate Management of Investment Funds. Harvard Business Review, 1965, 43(1): 63—75.

③ W. F. Sharpe. Mutual Fund Performance. The Journal of Business, 1966, 39(1): 119—138.

④ M. C. Jensen. The Performance of Mutual Funds in the Period 1945—1964. The Journal of Finance, 1968, 23(2): 389—416.

⑤ A. Charnes, W. W. Cooper, E. Rhodes. Measuring the Efficiency of Decision Making Units. European Journal of Operational Research, 1978, 2(6): 429—444。

⑥ T. A. Christine, L. Hervé. Portfolio Analysis with DEA: Prior to Choosing a Model. Omega, 2018, 75:57—76.

⑦ J. S. Liu, Y. Y. Lu, W. M. Lu, et al. A Survey of DEA Applications. Omega, 2013, 41(5): 893—902.

① 陈志平、林瑞跃：《基于DEA模型的基金业绩评估的主要方法》，载《系统工程学报》2005年第1期。

② G. N. Gregoriou, K. Sedzro, J. Zhu. Hedge Fund Performance Appraisal Using Data Envelopment Analysis. European Journal of Operational Research, 2005, 164(2): 555—571.

随着研究的深入，DEA模型不断被优化。周忠宝等(2014)提出了存在保证域的模糊非径向偏好DEA模型，有效地解决了输入和输出全部或部分为模糊数的评价问题^③。国内学者刘德彬等(2015)提出了输入、输出指标的判定方法，并在周忠宝等(2014)的单阶段模型的基础上构建了存在非期望输入输出指标的两阶段DEA评价模型^④。国外学者Lamb和Tee(2012)针对DEA效率估计的不确定性问题，利用Bootstrap(自助法)确定合理的置信度空间，建立了随机DEA基金评价模型^⑤。Branda(2015)建立了基于方向性距离函数测度的随机占优DEA评价模型，并证明了多种风险、收益指标综合评价的结果具有二阶随机占优优势^⑥。Banker等(2016)提出了关于基金经理头寸资产买卖择时能力、交易能力不同下的DEA评价模型^⑦。Galagedera等(2016)提出了一种两阶段DEA模型，将基金分为运营管理和资产组合管理两个阶段，在第二阶段计入的输入指标，如TCF(现金流)、基金赎回率、换手率等，综合考虑了第一阶段输入指标中遗漏的一些因素管理和交易费用^⑧。Lin等(2017)提出了动态网络DEA评价模型，并据此针对中国和欧洲市场的基金业绩表现进行了实证研究^⑨。对于DEA模型的评价指标，学者们也做了许多研究。在风险和收益度量指标方面，如Chen和Lin(2006)将三种传统的风险度量方法(Beta、Alpha、下半方差)以及两种新的风险度量指标(VaR、CVaR)引入DEA模型，对我国市场上封闭式基金进行了综合评价^⑩；Chen等(2016)研究了基于模糊分布下方差、半方差和半绝对偏差三种风险度量在DEA评价模型中的应用^⑪；Zhao等(2011)从基金业绩内生变量的角度，将基金超额收益分解为资产择时超额收益和资产配置超额收益，将风险分解为系统风险(Beta)和非系统风险(随机误差序列标准差)^⑫；Tsolas和Charles(2015)将P/CF、P/B作为输入指标、夏普比率、詹森指数作为输出指标，分别用RAM和RAM-BCC两种DEA模型对ETF基金进行评价^⑬。在基金费用和规模因素方面，如Gil和Ruiz(2009)指出了基金变现与收取的管理费用呈现负相关的关系^⑭；García等(2016)利用四因素回归模型研究了全球36个国家16 085只股票型、混合偏股型收益率与费率之间关系，得出了基金业绩与费用呈现明显负相关的关系，并利用DEA模型指出基金可以在规模、周转率等方面提升运行效率^①；Lamb和Tee(2012)用生产可能集理论结合适当的风险、回报考量方法，探讨了不同基金规模应当匹配的基金收益^②。收益率分布特征研究方面，Premachandra等(2012)在考虑标准差、规模的同时，将收益率分布特征值偏度和峰度也作为输入指标，将基金期间累积收益作为输出指标对美国基金市场进行研究，发现收益率分布特征矩可以更好地评价基金业绩表现^③；Guo等(2012)将基金收益率分布特征值偏度和峰度引入DEA模型进行评价，以更好地反映投资者的偏好，再次印证了收益率分布特征值偏度和峰度能获得更为有效的评价结果^④；Sáez等(2014)将标准差、峰度、费率、beta作为输入指标，将期望收益率、偏度作为输出指标对美国2001—2011年的基金业绩表现进行了评价^⑤。然而，当指标评价体系中含有中性指标(没有偏好)时，上述传统的数据包络分析方法都无法对决策单元作出有效评价，因此马占新等(2017)以经济效率与产业结构调整为背景，首次提出用于评价含有中性指标的DEA模型，研究如何通过产业结构(中性指标)调整来提高经济系统的效率^⑥。但其模型仅考虑了含有一种中性指标的情况，不足以表征现实经济系统的复杂程度，存在一定的局限性。

③ 周忠宝、孙亮、刘德彬等：《存在保证域的模糊非径向偏好DEA模型——基于中科院24个研究所的实证分析》，载《中国管理科学》2014年第2期。

④ 刘德彬、马超群、周忠宝等：《存在非期望输入输出的多阶段系统效率评价模型》，载《中国管理科学》2015年第4期; 周忠宝、孙亮、刘德彬等：《存在保证域的模糊非径向偏好DEA模型——基于中科院24个研究所的实证分析》。

⑤ J. D. Lamb, K. H. Tee. Resampling DEA Estimates of Investment Fund Performance. European Journal of Operational Research, 2012, 223(3): 834—841.

⑥ M. Branda. Diversification-consistent Data Envelopment Analysis Based on Directional-distance Measures. Omega, 2015, 52: 65—76.

⑦ R. Banker, J. Y. S. Chen, P. Klumpes. A Trade-level DEA Model to Evaluate Relative Performance of Investment Fund Managers. European Journal of Operational Research, 2016, 255(3): 903—910.

⑧ D. U. A. Galagedera, J. Watson, I. M. Premachandra, et al. Modeling Leakage in Two-stage DEA Models: An Application to US Mutual Fund Families. Omega, 2016, 61: 62—77.

⑨ R. Lin, Z. Chen, Q. Hu, et al. Dynamic Network DEA Approach with Diversification to Multi-period Performance Evaluation of Funds. OR Spectrum, 2017, 39(3):821—860.

⑩ Z. Chen, R. Lin. Mutual Fund Performance Evaluation Using Data Envelopment Analysis with New Risk Measures. OR Spectrum, 2006, 28(3): 375—398.

⑪ W. Chen, Y. Gai, P. Gupta. Efficiency Evaluation of Fuzzy Portfolio in Different Risk Measures Via DEA. Annals of Operations Research, 2018, 269(1—2):103—127.

⑫ X. Zhao, S. Wang, K. K. Lai. Mutual Funds Performance Evaluation Based on Endogenous Benchmarks. Expert Systems with Applications, 2011, 38(4): 3663—3670.

⑬ I. E. Tsolas, V. Charles. Green Exchange-traded Fund Performance Appraisal Using Slacks-based DEA Models. Operational Research, 2015, 15(1): 51—77.

⑭ J. Gil-Bazo, P. Ruiz-Verdú. The Relation between Price and Performance in the Mutual Fund Industry. The Journal of Finance, 2009, 64(5): 2153—2183.

① J. Vidal-García, M. Vidal, S. Boubaker. The Efficiency of Mutual Funds. Annals of Operation Research, 2018，267(1—2)：555—584.

② J. D. Lamb, K. H. Tee. Data Envelopment Analysis Models of Investment Funds. European Journal of Operational Research, 2012, 216(3): 687—696.

③ I. M. Premachandra, J. Zhu, J. Watson, et al. Best-performing US Mutual Fund Families from 1993 to 2008: Evidence from a Novel Two-Stage DEA Model for Efficiency Decomposition. Journal of Banking & Finance, 2012, 36(12): 3302—3317.

④ J. Guo, C. Ma, Z. Zhou. Performance Evaluation of Investment Funds with DEA and Higher Moments Characteristics: Financial Engineering Perspective. Systems Engineering Procedia, 2012, 3: 209—216.

⑤ J. C. Matallín-Sáez, A. Soler-Domínguez, E. Tortosa-Ausina. On the Informativeness of Persistence for Evaluating Mutual Fund Performance Using Partial Frontiers. Omega, 2014, 42(1): 47—64.

⑥⑦马占新、郑雪琳、安建业等：《一种含有中性指标的数据包络分析方法》，载《系统工程理论与实践》2017年第2期。

本文基于方向性距离函数(DDF)原理提出了含有中性指标的基金DEA绩效评价模型，构建了多样化的指标评价体系，同时考虑多种输入、输出指标和中性指标，拓展了马占新等(2017)提出的含有单中性指标的DEA评价模型^⑦，将基金的下行标准差、beta风险和基金费率作为输入指标，将年净值收益率、詹森指数和收益率分布偏度值作为输出指标，将股票仓位和持股集中度作为中性指标，对我国30只样本基金2007—2016年的业绩表现进行了绩效评价，分析了基金部分年度效率不佳的原因，并为基金经理提供了一些提升效率的可行性建议。

二.   DEA评价模型及相关符号说明

假设n只不同的证券投资基金，每只基金在评价期间有p个指标待评价，用X(X₁, X₂, …X_p)表示。令每只基金作为DEA模型的一个决策单元(DMU)，那么第j只基金对应的决策单元可以表示为DMU_j(X_j1, …, X_js, …, X_jp)，于是每个指标在DEA模型中的非负线性组合生产可能集T可以表示为：

其中，λ_j代表第j个决策单元DMU在线性组合中的权重，即第j只基金资产的投资比例；$\sum\limits_{j = 1}^n {{\lambda _j} = 1}$代表将所有资金投资于基金资产，λ_j≥0则代表不允许卖空基金资产。于是通过比较待评价基金o(o∈{1, …, n})的评价指标o_s与DEA模型中n只基金的非负线性可能集T_S可以得到该指标下基金的相对效率值。

一   基于DDF的DEA评价模型

一些学者把方差、收益率作为输入输出指标建立了早期的风险导向或者收益导向的DEA模型，但随着研究的深入，诸多学者发现往往单一的风险或者收益指标并不足以反映基金的组合特征，并且如基金的费率、收益率分布特征等指标在基金效率评价中也是不可忽视的重要因素。基于多指标综合评价的角度，本文提出了基于方向性距离函数(DDF)的多指标DEA评价模型，综合考虑了多种风险、多种收益、基金费率、收益率特征指标对基金运营绩效的影响。

其中，方向性距离函数是测度每个决策单元的输入输出指标投影到生产前沿面的比率距离的函数，其测度值越小代表决策单元的该指标效率越高。基于DDF原理的DEA模型可以同时对输入、输出多指标进行评价而无需预设导向偏好，相对于有导向的DEA模型更易于理解；更重要的是通过合理选择方向向量可以处理传统导向模型不能处理的非正输入、输出指标(如收益率为负值)，同时各指标测距的比率距离即调整值可以给管理者提供提升绩效的建议。

假设基金有q个风险评价指标，w个成本指标，k个收益指标，l个收益率分布特征指标，那么定义第i(i=1, …, q)个风险指标为V_i(·)，第f(f=1, …, w)个成本指标为C_f(·)，第r(r=1, …, k)个收益指标为R_r(·)，第m(m=1, …, l)个收益率分布特征指标为Y_m(·)。这些指标之间满足独立性，风险指标满足次可加性、风险测度一致性，收益指标满足正齐性和超加性，于是其生产可能集T^*可以表示为：

待评价基金o(o∈{1, …, n})的各项指标分别用(V_io, C_fo, R_ro, Y_mo)表示，依据Fukuyama和Weber(2009)^①在SBI模型中对于决策单元的效率定义，类似地，待评价基金o的DEA模型目标函数值θ可以表示为：

① H. Fukuyama, W. L. Weber. A Directional Slacks-Based Measure of Technical Inefficiency. Socio-Economic Planning Sciences, 2009, 43(4): 274—287.

其中，$({V_{{\rm{i}}o}} - \delta _i^ - {\eta _{io}},{C_{fo}} - \tilde \delta _f^ - {\gamma _{{f_o}}},{R_{ro}} + \delta _r^ + {v_{ro}},{Y_{mo}} + \tilde \delta _m^ + {\mu _{mo}}) \in {T^ * }$。

对于基金风险和成本指标，其指标值越小代表基金效率越高，而收益率和其他正向偏好指标则是指标值越大基金效率越高。(3)式中η_io、γ_fo、υ_ro、μ_mo依次为待评价基金与市场有效前沿面在风险、成本、收益、收益率高阶矩指标上的方向性测度向量；δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、${\tilde \delta _r^ + }$、${\delta _m^ + }$依次代表待评价基金的风险、成本、收益、收益率高阶矩指标在DDF原理下的比率距离值，其代表待评价基金若要达到有效运营，与生产前沿面相比需要将成本和风险减少或者将收益率等增大的倍率。当θ值存在最优解时满足Pareto最优，于是可以建立基于DDF的DEA评价模型：

模型(ZDEA)为基金多指标DEA评价模型，当δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、${\delta _r^ + }$、${\tilde \delta _m^ + }$均为0时，模型目标函数值θ值同样为0，这代表待评价基金的所有评价指标均在生产前沿面上无需进行调整，基金处于有效运营状态。若θ值不为0时，则说明待评价基金存在相关评价指标需要进行调整，基金效率处于非有效状态，θ值越小代表基金待调整幅度越小即基金效率越高。假设存在两只待评价基金，通过模型(ZDEA)计算的θ值分别为0.1和0.4时，表明前者与生产前沿面的差值要小于后者，因此前者绩效表现要优于后者。

假设一只被评价基金其比率距离值分别为：δ₂^－=0.1, ${\tilde \delta _1^ - }$ =0.2, δ₃⁺=0.3, ${\tilde \delta _1^ + }$=0，这代表该基金需要将第2风险评价指标减少10%，同时将第1种基金费率指标降低20%，并需要将自身的第3种收益率测度指标提高30%，第1种收益率分布特征评价指标无需调整。本文借鉴了系统评价中0—1标准化的方法进行评价，于是模型采取的方向性向量η_io、γ_fo、υ_ro、μ_mo可以表示为：

通过公式(11)可以看到，每只基金的方向性向量量纲相同，这使得本文不同基金的DDF比率距离值具有可比性，同时满足θ∈[0, 1]。

定理1   已知公式：

则有θ∈[0, 1]。

证明1   由已知条件和模型(ZDEA)的约束条件(5)—(8)，可以推理出如下公式：

从公式(12)可以得到δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、${\delta _r^ + }$、${\tilde \delta _m^ + }$∈[0, 1]，结合公式(3)可以推出θ∈[0, 1]，因此定理1得证。

二   含中性指标的DEA模型

基金股票仓位和重仓股持股集中度是反映基金投资风格和交易策略的重要指标，其仓位较高意味着投资者可以在股市中获取更多收益的同时也需要承担更多的风险。基金重仓股集中度较高, 一方面可以获取较高的收益，另一方面可以减轻基金经理的管理困扰(如对基金股票池的跟踪、盘面分析和投资分析等工作)，但却不利于分散组合的风险；持股集中度过低虽然可以控制风险，但收益较低和管理不便的缺点也一直为市场所诟病。对于这类无明显偏好的中性指标，传统的DEA评价模型难以进行评价，于是本文构建了含中性指标的基金DEA评价模型(ZODEA)。

模型(ZODEA)中，约束(18)代表基金中性指标的方向性距离函数表达式，其中${Z_h}(\sum\limits_{j = 1}^n {{\lambda _j}{X_j})}$满足生产可能集条件公式(1)，g代表基金中性指标的个数，ω_ho(ω_ho=Z_ho)代表待评价基金中性指标与市场有效前沿的方向性测度向量，β_h代表待评价基金的中性指标的方向性测距值。模型(ZODEA)的其余约束条件和相关符号同(ZDEA)模型。

定理2   (1)若λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、β_h^*、θ^*为(ZODEA)模型的最优解，那么λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、θ^*也是(ZDEA)模型的最优解；(2)若λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、θ^*是(ZDEA)模型的最优解，那么令β_h^*满足公式${Z_h}(\sum\limits_{j = 1}^n {{\lambda _j}{X_j})} = {Z_{ho}} + \beta _h^ * {\omega _{ho}}$，则λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、β_h^*、θ^*也是(ZODEA)模型的最优解。

证明(1)  若λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、β_h^*、θ^*为(ZODEA)模型的最优解，假设λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、θ^*不是(ZDEA)模型的最优解，可以验证λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、θ^*是(ZDEA)模型的可行解，因此必然存在(ZDEA)模型的可行解λ、δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、δ_r⁺、${\tilde \delta _m^ + }$、θ，满足θ>θ^*, 令β_h满足${Z_h}(\sum\limits_{j = 1}^n {{\lambda _j}{X_j})} = {Z_{ho}} + \beta _h^ * {\omega _{ho}}$，则λ、δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、δ_r⁺、${\tilde \delta _m^ + }$、β_h、θ是(ZODEA)模型可行解，与原假设矛盾。

证明(2)   若λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、θ^*是(ZDEA)模型的最优解，令β_h^*满足公式${Z_h}(\sum\limits_{j = 1}^n {{\lambda _j}{X_j})} = {Z_{ho}} + \beta _h^ * {\omega _{ho}}$，如果λ^*、δ_i^－*、${\tilde \delta _f^ - }$^*、${\delta _r^ + }$^*、${\tilde \delta _m^ + }$^*、β_h^*、θ^*不是(ZODEA)模型的最优解，那么必然存在(ZODEA)模型的可行解λ、δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、δ_r⁺、${\tilde \delta _m^ + }$、β_h、θ，满足θ>θ^*, 由于λ、δ_i^－、${\tilde \delta _f^ - }$、δ_r⁺、${\tilde \delta _m^ + }$、θ是(ZDEA)模型的可行解，与原假设矛盾。

因此，(ZDEA)模型和(ZODEA)模型同解，(ZODEA)模型在进行效率评价的同时可以通过β_h^*给出基金经理仓位管理策略和持股策略与市场有效基金资产配置的差异值，便于基金经理认识到自身策略的不足并加以改进，提高运营效率，因而有更广的适用性。令基金效率ρ=1-θ，ρ值越大则基金效率越高，若ρ=1，则基金处于完全有效运营状态。

三.   基金评价指标的选取和计算

对于基金业绩的评价往往需要选取多种指标来考量基金各方面的业绩表现，这里不仅要衡量基金的风险和收益水平，还要考虑基金的费率、收益率分布特征等相关指标，同时也要顾及基金的投资风格和交易策略。本文选取了基金的下行标准差、beta风险和基金费率作为输入指标，将年净值收益率、詹森指数和收益率分布偏度值作为输出指标，将股票仓位和持股集中度作为中性指标，即本文基金评价模型(ZODEA)中各类指标取值数目分别为：q=2, w=1, k=2, l=1, g=2, 下文介绍各评价指标选取和计算方法。

一   基金收益指标选取和计算

对于基金业绩成果最直观的展示就是基金的收益情况。收益可以反映一只基金是否能够盈利或者可以优于市场表现。收益指标可以分为绝对收益指标和相对收益指标。本文用年度净值收益率e来反映基金的绝对盈利水平，用詹森指数来衡量基金的超额收益水平，其计算方法为：

e为基金年度净值收益率，其中NAV_T、NAV_T-1分别代表基金第T、T-1期的单位净值，D代表基金从第T-1期到T期内单位份额基金的现金分红金额，本文不考虑红利再投资，利用基金年末单位净值数据计算。

公式(22)为詹森指数计算公式，式中E(R_j)为评价期间基金复权净值增长率的均值，R_f为一年期定期存款利率，E(R_m)上证综指平均收益率，通过线性回归处理即可得到得到常数jensen，如果jensen大于0则表示基金表现优于等风险的市场组合可以获得超额收益，本文以周频率对该指标进行计算。

二   基金风险指标的选取和计算

投资者除了关注收益以外，同时也会关注基金所面临的风险，因此基金的风险水平也是业绩评价的重要参考，自Markowitz投资组合理论创立以来, 学者们建立了各种风险度量模型和方法, 考虑到基金有通过多元组合分散风险的优势，本文选取beta考察基金的风险分散效果，同时用下行标准差($\sqrt {HV}$)衡量基金在面对市场环境转坏时下跌的风险，其计算方法为：

beta为基金的系统风险，衡量基金收益率相对市场波动的敏感程度，式中cov_{i, m}为基金i与市场组合m收益率的协方差，σ²表示市场组合收益率的方差，本文选取上证综指作为基准指数，以周频度对该指标进行计算。

式中，E代表第i只基金的期望收益率，R_i代表的是基金的周净值复权增长率，本文选取周频率数据进行计算。

三   收益率分布特征指标的选取与计算

Guo等(2012)研究发现，我国金融市场收益率分布并不服从正态分布，而是存在尖端后尾的特征。^①为描述此分布特征，偏度应运而生。偏度(Skewness)是描述分布偏离对称性程度的一个特征数，收益率右偏代表绩效评价期间基金收益率更倾向于正向波动，左偏则反之。因此投资者更青睐于收益率右偏的基金。

① J. Guo, C. Ma, Z. Zhou. Performance Evaluation of Investment Funds with DEA and Higher Moments Characteristics: Financial Engineering Perspective. Systems Engineering Procedia, 2012, 3: 209—216.

式中，E为样本均值，σ为样本标准差，本文以周基金净值涨跌幅，按年度为周期计算。

四   基金费用指标的选取与计算

基金费用包括托管费用、基金日管理费用、客户维护费用、其他费用和交易费用，因为托管费率为固定的0.25%，交易费用与基金的股票仓位管理相关，因此本文选取管理费用、客户维护费用和其他费用综合计算基金费率。

式中，所有费用均选取基金年报数据进行计算。

五   基金中性指标的选取与计算

股票仓位和持股集中度可以反映基金经理的投资风格、对未来市场的看法以及采取的交易策略，在一定程度上反映基金的成长潜力和风险偏好，无明显的优劣之分，属于中性指标，其计算公式如下：

股票仓位=基金股票市值/基金资产净值

持股集中度=前十大股票资产市值/基金股票市值

本文首先利用基金一季报、半年报、三季报和年报的股票市值和前十大股票资产市值数据计算得到四个报告期的股票仓位和持股集中度值，然后取均值得到年均基金股票仓位和持股集中度。

四.   实证研究

混合型基金具有股债混合、仓位变化灵活和投资攻守兼备的特点，既可以在行情上涨时提高股票资产比例以获得较高的收益，又可以在行情下跌时提高债券比例减少损失，因此深受基金投资者的偏爱。目前在我国基金市场上，混合型基金已经发展到1 755只，占基金市场份额的42.19%，因此合理地对混合型基金进行绩效评价尤为重要。本文旨在从仓位、持股集中度和基金费率等角度为基金经理提升基金运营效率提供新的思路。为了研究基金的持续运营能力，本文将基金成立时间设定为10年以上。为了使基金样本的上述指标有可比性，文章将基金的股票资产投资比例设定为60%—95%。

本文使用Wind、Choice、CSMAR数据库获取基金历史数据，经过上述设定条件筛选后，从符合筛选项的基金中随机选取了30只进行实证研究。样本数据选取从2007年1月1日至2016年12月31日的周净值历史数据，收益率为含红利的年净值增长率，仓位、持股集中度和基金费率(不含托管费)均以基金年报公告数据计算，Beta、下半方差和詹森指数以周频率历史数据计算，2007—2016年各指标均值统计如表 1所示。

表  1  2007—2016年样本基金各指标统计均值

	费率(%)	Beta	下行标准差	偏度	詹森指数	收益率	仓位(%)	持股集中度(%)
2007	1.511	0.798 5	0.027 6	0.098 1	0.006 0	0.840	84.105	7.251
2008	1.510	0.775 8	0.032 6	0.385 6	0.001 8	-0.493	75.127	7.836
2009	1.511	0.831 7	0.025 9	-0.361 3	0.000 7	0.693	83.853	6.902
2010	1.747	0.848 3	0.020 4	-0.207 9	0.003 0	-0.004	85.097	7.367
2011	1.759	0.921 8	0.017 0	0.347 3	-0.000 8	-0.228	84.147	7.935
2012	1.740	0.984 4	0.018 3	-0.006 3	0.000 5	0.038	84.469	7.574
2013	1.766	0.773 8	0.018 9	-0.159 0	0.003 2	0.111	86.602	7.889
2014	1.764	0.619 6	0.016 1	0.021 3	-0.001 7	0.226	87.296	7.860
2015	1.771	1.013 9	0.048 6	-0.914 2	0.005 5	0.423	86.133	8.354
2016	1.772	1.105 4	0.028 8	-0.999 0	-0.000 4	-0.168	82.452	7.559

下载: 导出CSV 

| 显示表格

从统计数据可以看出，样本区间内基金在2007年收益率达到最大值为0.84，而在2008年整体出现最大的亏损收益率为-0.493；詹森指数大多数年度为正且数值较大表明基金获得超额收益的能力较强；从下行标准差来看，两者数值均在2008年和2015年出现急剧增长，这与2008年金融危机以及2015年A股暴跌行情股市波动加剧造成的基金组合发生损失的可能性增加有关；从Beta指标看，2007—2014年Beta均小于1，这表明样本基金在控制系统风险的能力较好，但在2015—2016年指标大幅上升且大于1，表明基金表现受市场波动影响较大；从收益率分布的偏度值看，样本基金在2015—2016年左偏严重，这与2015年6月份以来股市三轮暴跌行情下行有关；基金费率总体呈现出上升趋势；股票仓位仅在2008年呈现较低水平为75.127%，其余时间维持在85%左右；重仓股持股集中股较为平稳在7%—9%的范围内波动，2009年受金融危机冲击影响集中度较低，2015年基金则保持较高集中度在上涨行情中攫取收益，总体来看基金持仓策略较稳定。

一   DEA输入输出指标的可行性分析

在使用DEA模型进行多指标评价时，指标之间的相关性会对模型评价结果造成很大影响。若存在高度相关的指标，一方面会强化DEA模型评价结果对该类指标的依赖从而使评价结果出现偏差，另一方面重复的指标又会使得模型计算变得复杂难以求解，因此在运用DEA模型之前对指标相关性分析尤为必要。另外，输入、输出指标之间影响的显著性会很大程度影响DEA评价结果的准确性。于是本文利用SPSS.23软件进行多元统计分析，分析输入、输出指标之间影响的显著性以及指标之间相关性，分析结果如表 2所示。

表  2  DEA输入输出指标相关性分析

指标相关性	beta	费率	下半方差	詹森指数	收益率	偏度
beta	1.000 0
费率	0.229 9	1.000 0
下半方差	0.255 1	-0.049 8	1.000 0
詹森指数	0.043 4	-0.152 4	0.434 9	1.000 0
收益率	-0.119 4	-0.229 3	0.151 5	0.478 6	1.000 0
偏度	-0.294 6	-0.232 0	-0.413 9	-0.097 9	-0.183 0	1.000 0

下载: 导出CSV 

| 显示表格

从指标相关性分析结果表 2中可以看出，在本文选取的输入输出指标中，仅有三组指标相关性系数绝对值大于0.3, 存在一定程度的弱相关性，分别是收益率和詹森指数的相关性系数为0.478 6，詹森指数和下半方差相关性为0.434 9，下半方差和偏度相关性为-0.413 9。其余指标之间相关性系数绝对值均小于0.3，不存在相关性，指标选择合理。

从表 3中可以看出，下半方差、费率和beta对收益率影响显著；下半方差和基金费率对詹森指数影响显著，beta对詹森指数影响不显著；下半方差、费率和beta对偏度影响显著。输入和输出指标之间基本存在显著影响，因此满足DEA模型使用要求。

表  3  DEA输入输出指标因子显著性分析

因变量	自变量	显著性
收益率	下半方差	0.003
	费率	0.001
	beta	0.046
詹森指数	下半方差	0
	费率	0.024
	beta	0.461
偏度	下半方差	0
	费率	0
	beta	0.002

下载: 导出CSV 

| 显示表格

二   DEA效率分析

将风险评价指标(beta、下行风险)、基金费率作为DEA模型输入指标，将收益评价指标(詹森指数、收益率)、收益率分布特征值偏度作为输入指标，将仓位和持股集中度作为中性评价指标，带入模型计算得到如下评价结果，如表 4所示。

表  4  2007—2016年30只基金DEA效率值

基金代码	样本年度
	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	均值	有效次数
360006.OF	0.582 7	0.673 3	1.000 0	0.786 9	0.709 7	1.000 0	0.883 2	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.863 6	5
257030.OF	0.856 3	0.811 2	0.808 1	0.753 8	0.760 2	1.000 0	0.820 0	0.857 9	0.715 7	0.738 5	0.812 2	1
580002.OF	0.655 3	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.721 4	1.000 0	1.000 0	0.749 8	0.674 1	0.424 9	0.822 6	5
519013.OF	0.918 0	0.699 9	1.000 0	0.658 4	0.633 7	0.666 6	0.776 2	0.767 9	1.000 0	0.609 5	0.773 0	2
519996.OF	0.770 6	0.762 7	0.841 3	0.803 0	0.513 2	0.606 4	1.000 0	1.000 0	0.643 8	0.788 0	0.772 9	2
162006.SZ	1.000 0	0.877 3	0.749 2	1.000 0	0.744 3	0.775 2	0.899 0	0.842 1	0.722 6	0.539 2	0.814 9	2
519005.OF	0.755 7	0.671 2	0.858 5	0.827 6	0.630 1	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.524 0	0.826 7	3
200006.OF	0.859 9	0.816 6	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.659 8	0.589 2	0.892 5	6
121005.OF	0.635 4	0.719 5	0.664 6	0.803 9	1.000 0	0.656 1	1.000 0	0.813 6	0.689 0	0.880 1	0.786 2	2
121003.OF	0.471 5	0.771 4	0.774 4	0.933 4	0.582 0	0.653 2	0.867 8	1.000 0	0.762 9	0.601 3	0.741 8	1
519017.OF	1.000 0	0.877 0	0.649 8	0.973 1	0.633 9	0.624 5	0.871 9	0.839 2	0.882 7	0.728 5	0.808 1	1
240009.OF	0.864 2	1.000 0	1.000 0	0.880 7	0.547 6	0.686 4	1.000 0	0.875 6	1.000 0	0.566 3	0.842 1	4
519993.OF	0.799 3	0.806 4	0.642 5	0.901 0	0.550 1	0.597 2	1.000 0	0.747 1	1.000 0	0.712 8	0.775 6	3
481004.OF	0.845 1	0.825 9	0.656 6	0.902 8	0.696 0	0.591 2	1.000 0	0.745 6	0.672 6	0.349 2	0.728 5	1
257020.OF	0.766 2	0.710 2	0.614 3	1.000 0	0.672 8	1.000 0	0.927 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.869 1	5
020005.OF	0.714 8	0.904 2	1.000 0	1.000 0	0.770 6	1.000 0	0.865 8	0.859 3	1.000 0	1.000 0	0.911 5	6
213002.OF	0.648 5	0.714 0	1.000 0	0.726 8	0.566 8	0.609 6	0.785 8	1.000 0	0.693 0	0.536 6	0.728 1	2
162703.SZ	0.635 0	0.764 7	0.827 1	1.000 0	0.590 0	0.783 7	0.673 7	0.844 2	1.000 0	1.000 0	0.811 8	3
240004.OF	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.918 3	0.805 2	0.661 9	0.904 4	1.000 0	0.856 3	0.989 8	0.905 1	5
519994.OF	1.000 0	0.675 1	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.804 5	0.568 6	1.000 0	0.768 3	0.821 5	0.863 8	4
040005.OF	0.839 3	0.747 8	0.796 7	1.000 0	0.813 0	1.000 0	0.891 1	0.837 4	1.000 0	0.736 7	0.866 2	2
360005.OF	0.637 2	0.665 2	0.816 8	1.000 0	1.000 0	0.926 2	0.740 6	0.905 5	1.000 0	0.675 4	0.836 7	3
450002.OF	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.623 6	1.000 0	0.694 1	0.823 4	0.900 6	1.000 0	0.904 2	6
100026.OF	0.811 7	0.856 2	1.000 0	0.967 3	0.556 3	0.598 2	1.000 0	0.875 8	0.858 1	0.646 6	0.817 0	3
213003.OF	0.884 4	0.727 5	0.850 1	0.491 0	0.600 7	0.758 8	0.752 4	1.000 0	0.616 6	0.430 2	0.711 2	1
161005.SZ	0.872 9	0.870 6	0.880 2	1.000 0	0.653 6	0.669 6	0.827 0	0.940 9	0.842 3	0.644 7	0.820 2	1
481001.OF	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.862 8	0.586 5	0.566 2	0.699 8	0.743 1	0.582 1	0.709 1	0.775 0	3
160505.SZ	1.000 0	0.868 9	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.639 3	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.950 8	8
270005.OF	0.719 3	0.714 3	0.856 7	0.854 2	0.642 1	0.699 6	1.000 0	0.800 7	0.803 0	1.000 0	0.809 0	2
450003.OF	1.000 0	0.840 4	0.691 7	1.000 0	0.804 9	0.731 2	1.000 0	0.907 1	0.856 1	0.599 5	0.843 1	3

下载: 导出CSV 

| 显示表格

从2007—2016年各样本基金效率均值看，博时主题(160505.SZ)业绩表现最好，效率均值为0.950 8，国泰金马稳健(020005.OF)表现次之，两者资产规模均扩张了近2倍，受到了投资者的追捧。宝盈策略增长混合(213003.OF)和宝盈泛沿海增长混合(213002)为表现最差的两只基金，2007年以来其规模均缩水将近60%，且这两只基金为了改善业绩分别调换了9次、7次基金经理，然而频繁的人事变动并没有起到明显的效果，仍有多方面需要提升。

从单只基金的持续运营效率来看，在30只样本基金中没有一只基金可以维持10年的有效运营，大多数基金效率值波动较大且处于低效率状态。样本基金中，博时主题(160505.SZ)业绩表现最好，在10年间中有8个年度效率值为1；长城消费增值混合(200006.OF)则表现出了较好的业绩持续性，在2009—2014年的连续6个年度中均保持在有效运营水平；海富通股票混合(519005.OF)虽然在2012—2015年持续4个年度效率值为1，但在2016年却下降至0.524，原因在于该基金收益率由上年度的0.212 8暴跌至-0.349，同时下行标准差相对较大，最终导致其基金业绩未能延续；国投瑞银核心企业混合(121003.OF)、工银稳健成长混合A(481004.OF)、宝盈策略增长混合(213003.OF)等6只基金均仅有1个年度达到最佳运营状态，运营效率低于市场水平。总体来看，样本基金的业绩持续性不佳，基金经理在面对不同市场行情时的择时选股能力欠佳。

对比不同基金的效率值，在2007—2010年，博时主题行业混合(160505.SZ)的风险、收益、偏度以及费率方面均比广发聚丰混合(270005.OF)要好，这与DEA模型中前者评分始终高于后者的结果一致。与之不同的是，光大保德信新增长混合(360006.OF)的DEA评分在2012—2016年始终大于国联安优势混合(257030.OF)，但前者的收益、偏度和风险指标并没有在所有年度表现出优势，只是前者的费率始终远远低于后者，导致其在DEA模型下评分较高。类似地可以看到，华宝先进成长混合(240009.OF)、工银核心价值混合A(481001.OF)、国泰金马稳健混合(020005.OF)在2009年效率值均为1，收益率分别是0.914、0.498、0.089，虽然国泰金马收益率最低，但其风险指标、费率同样最低，而华宝先进虽然有最高的收益但也在较大的下行风险，工银核心价值的各项指标则处于中游位置，最终可以得到3只基金在DEA评价模型下均处于有效运营状态。综合来看，本文提出的DEA评价模型可以很好地综合考量收益、风险、偏度以及基金费率指标。

三   输入输出指标调整分析

运用文章提出的基于方向性距离函数的DEA模型可以得到：被评价基金与市场生产有效前沿面的收益、风险和中性指标的比率差距值即为使被评价基金有效所需的调整幅度。这些信息可以帮助基金管理人分析该基金效率低下的原因，并借此进行调整。本文以博时主题(160505.SZ)和长城久富(162006.SZ)为例分析基金输入输出指标待调整幅度，幅度大小代表与市场前沿面的差距，但往往基金提升一方面运营指标时，会影响到其他指标，本文旨在为基金管理人解决自身效率不佳的问题提供一个可行的建议。

表  5  博时主题(160505.SZ)输入输出指标待调整幅度 (%)

年份	beta	费率	下行标准差	詹森指数	收益率	偏度
2007	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2008	-3.61	-27.15	-1.31	0.00	46.58	0.00
2009	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2010	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2011	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2012	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2013	-24.86	-63.87	-21.77	52.94	52.95	0.02
2014	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2015	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2016	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00

下载: 导出CSV 

| 显示表格

从表 5中可以看出，博时主题基金整体运营效率不错，在2008年需要降低基金组合的系统风险beta，同时降低基金费率以及下行标准差，努力提高收益以达到有效运营；在2013年需要调整幅度较大，要降低beta、费率和下行标准差，并提高收益、詹森指数以及周收益率分布偏度值。

从表 6中可以看出，长城久富基金在样本区间内运营效率偏低，且仅在2007年和2010年不需要进行调整，而基金费率控制得比较理想，仅在2008年和2015年有待降低；2008—2009年、2011—2013年和2015—2016年需要控制基金的下行风险；在其余年份则需适当提高詹森指数、收益率和偏度，其中2016年待调整幅度较大。

表  6  长城久富(162006.SZ)输入输出指标待调整幅度 (%)

年份	beta	费率	下行标准差	詹森指数	收益率	偏度
2007	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2008	0.00	-16.81	-1.40	4.64	5.45	45.32
2009	-40.01	0.00	-39.98	21.91	0.00	48.60
2010	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2011	0.00	0.00	-54.24	29.92	23.01	46.28
2012	0.00	0.00	-47.66	23.06	25.45	38.69
2013	0.00	0.00	-25.68	13.12	15.53	6.28
2014	0.00	0.00	0.00	43.18	33.36	18.20
2015	-24.96	-24.57	-24.35	23.08	29.21	40.29
2016	-78.82	0.00	-66.99	44.72	61.56	24.41

下载: 导出CSV 

| 显示表格

四   基金中性指标分析

基金股票仓位、重仓股持股集中度指标属于中性指标，指标值较高则代表基金有较大的获利潜能，但同时也预示着基金存在较高的风险。为直观地反映不同年度各基金经理投资风格和交易策略的业绩表现情况，本文以博时主题基金和长城久富基金为例，将模型(ZODEA)计算得到的中性指标(股票仓位和重仓股持股集中度)的方向性测距值β_h，绘制成折线图, 如图 1所示。

图  1  基金仓位、持股集中度待调整值

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 1为不同年度基金仓位、持股集中度待调整值。博时主题基金在2008年持股集中度为7.86%，股票仓位值为74.15%，虽然两者均略低于市场平均值，但在次贷危机背景下，仅有几只低仓位高分散位基金效率较好，因此尽管博时主题指标在市场均值水平上下，但随行就市受市场波动影响较大，最终出现了较大亏损导致其效率不佳的情况。另外，2013年博时基金持股集中度高达9.94%，远高于同类平均水平7.89%，这导致其投资组合系统风险beta值高达0.997 5，未能达到有效分散风险的目的。

由上述分析可知长城久富基金效率一直偏低，从折线图中可以看出，长城久富在2009年和2011—2016年的股票仓位的调整值均为负，这表明其股票仓位高于市场上同类基金，其中在2013—2015年股票仓位高达90%以上，可以看出此基金在这三年投资策略比较激进，因此其在股市暴跌行情中亏损较大。另外，长城久富基金在2008—2009年和2013—2016年的持股集中度调整值较低，这表明其持股集中度较同类基金偏低，特别在2016年，其持股集中度仅为4.85%，远低于其他基金控制水平，同前沿面相比待调整幅度高达116.21%，这虽然一定程度上分散了组合风险，但也给股票池资产的管理带来了不便，从而难以逆市获取超额收益，该年度詹森指数仅为-0.0012，最终导致该基金效率偏低。

五   基金绩效评价模型回测结果对比分析

为验证ZODEA模型甄选基金有效性并比较其与传统BCC模型(评价指标选取为下半方差和收益率)的优劣性。我们通过将投入导向下的BCC模型、产出导向下的BCC模型和本文提出的ZODEA模型2016年整一年的数据导入matlab进行效率分析，从30只基金中分别选取了不同模型下绩效排名靠前的基金组成不同的基金池组合，利用样本基金在2017年各月末时刻的区间累计收益率值作为样本外数据进行回测检验，基金池基金组成成分如表 7所示。其中，基金池成分基金选取标准为：(1)若有效基金数大于5，则基金池取所有有效基金；(2)若有效基金数目小于或者等于5，则基金池取排名靠前的5只基金。

表  7  回测对比基金池成分表

基金池名称	基金池成分基金
ZODEA	360006.OF 257020.OF 020005.OF 162703.SZ 270005.OF 450002.OF 160505.SZ
BCC-风险	519996.OF 121005.OF 020005.OF 162703.OF 160505.SZ
BCC-收益	121005.OF 020005.OF 450002.OF 240004.OF 160505.SZ

下载: 导出CSV 

| 显示表格

将各只基金2017年收益率数据作为样本外数据对上述基金池进行回测，其结果如图 2所示。

图  2  基金绩效评价模型回测结果对比

下载: 全尺寸图片 幻灯片

从图 2中可以看出，本文构建的ZODEA模型不仅能够跑赢市场(上证指数和沪深300指数)，并且与传统的BCC模型(风险导向下和收益导向下)的基金池回测结果进行对比，可以得知本文所提出的含有中性指标的DEA基金绩效评价模型结果胜率更高，收益更好，波动更小，更具有稳定性。综合来看，多指标评价模型更具综合性，相比传统的目标导向性较强、评价指标较少的BCC模型该多指标模型在评价基金效率时的表现更出色。

五.   结论

考虑到无偏好性的中性指标的增加并不会影响DEA绩效评分结果，本文基于方向性距离函数原理提出了含有中性指标的基金DEA评价模型。由于多指标综合评价具有随机占优优势，因此本文将基金的下行标准差、beta风险和基金费率作为输入指标，将年净值收益率、詹森指数和收益率分布偏度值作为输出指标，通过方向性向量比率距离值给出各输入输出指标的调整幅度，以为基金经理提升基金效率。同时，结合本文提出的含有中性指标的DEA模型，可得到目前市场上有效运营基金所采取的持仓策略和被评价基金与该有效基金前沿面(交易策略)的差距值，从而为基金经理提升基金效率提供了新的一种思路。最后，通过研究我国基金市场上任意30只混合型基金在2007—2016年的历史数据发现，我国基金获取超额能力较好，但基金业绩受市场波动影响较大。从模型DEA评分结果来看，我国基金运营效率普遍偏低，业绩持续性较差，基金经理择时选股能力欠缺。